Egyszer valaki ezt mondta Eratoszthenésznek: „Egyiptom egyik városában, Asszuánban, van egy torony, amelynek az év egyik napján nincs árnyéka.”. Az ókori bölcs pedig, mindössze ennyi információból kiszámította a Föld sugarát. Őszintén szólva nem tudom mennyi igaz ebből az általam még nagyon régen hallott legendából (a wiki cikk szerint van igazság a dologban). Ebben a bejegyzésben, eltérően az eddigi témáktól, bemutatom röviden a számítás menetét.
Nézzük a következő ábrát! Szükség lesz egy másik oszlopra is, amelynek lehetőleg messze kell lennie az eredeti oszlopunktól (az ábrán két kék vonal jelöli az oszlopokat). Meg kell továbbá valami módon mérni a két oszlop távolságát (az ábrán i). Az oszlopok képzeletbeli meghosszabbítását a Föld középpontja felé szaggatott vonallal jelöltem.
Piros színnel láthatjuk a mi oszlopunk árnyékát azon a napon, amikor a másik oszlopnak nincs árnyéka. Ebből méréssel meg lehet határozni a felül lévő alfa szöget. Az alul jelölt szög szintén az alfa nevet kapta, hiszen a két szög egyenlő, mert váltószögek. Tudjuk továbbá, hogy egy adott körben a középponti szög nagysága egyeneses arányos a hozzá tartozó ívhosszal. Vagyis minél nagyobb az ábrán látható alfa szög, annál nagyobb lesz az ’i’ görbe hossza. Ebből következik, hogy egyszerű aránypárokkal ki tudjuk számítani a Föld kerületét; ha alfához ’i’ ívhossz tartozik, akkor a teljes, 360°-os szöghöz a következő érték tartozik:
A kör kerületéből pedig az ismert képletből (K=2rπ) ki tudjuk számolni a sugarat. Tulajdonképpen már a Föld kerületének kiszámítása is eléggé meggyőző
Természetesen jobban belegondolva igen sok helyen ronthatják le ezt a számítást az egyes mérési bizonytalanságok és közelítések. Mindezek ellenére azonban ez egy igen lenyűgöző példa arra, hogy egy kevés matematikatudással milyen nagyszerű dolgokat tudunk megbecsülni. Arról nem is beszélve, hogy hasonlóan egyszerű gondolatmenettel meg lehet becsülni például a Hold sugarát vagy a Föld és a Nap távolságát. De erről talán egy későbbi bejegyzésben.
